Mécanique des Fluides — Bilan de révision

⚓ Poussée d'Archimède — Origine

Un corps immergé subit des forces pressantes du fluide sur toutes ses surfaces. La pression augmente avec la profondeur (ΔP = ρgΔz), donc les forces du bas > forces du haut → résultante verticale vers le haut.

π⃗ ↑ (vers le haut) ┌─────────────┐ │ Corps │ ←→ forces latérales (se compensent) └─────────────┘ P_bas > P_haut ⟹ résultante ↑ P⃗ ↓ (poids vers le bas)

Conditions d'équilibre

π > P → remonte π = P → flotte π < P → coule

📐 Formule — Poussée d'Archimède

π⃗ = −ρ_f · V_immergé · g⃗ π = ρ_f × V × g (en Newtons)

Symbole	Grandeur	Unité SI
π (N)	Poussée d'Archimède	N
ρ_f	Masse volumique du fluide	kg·m⁻³
V	Volume immergé	m³
g	Champ de pesanteur	N·kg⁻¹

⚠ N'influencent PAS π : masse du corps, forme, orientation, profondeur (si totalement immergé)

Valeurs usuelles

Eau : 1 000 kg·m⁻³ Air : 1,2 kg·m⁻³ Mer : 1 025 kg·m⁻³ g ≈ 9,81 N·kg⁻¹

🔍 Exemple résolu — Cube de bois

Cube de bois : côté a = 0,20 m, ρ_bois = 600 kg·m⁻³, dans l'eau (ρ_eau = 1 000 kg·m⁻³, g = 10 N·kg⁻¹)

🧮 Résolution

V = a³ = (0,20)³ = 8,0×10⁻³ m³

P = ρ_bois·V·g = 600×8,0×10⁻³×10 = 48 N

π (immersion totale) = 1 000×8,0×10⁻³×10 = 80 N

→ π > P ⟹ le bois flotte !

V_imm à l'équilibre = m/ρ_eau = 4,8/1 000 = 4,8×10⁻³ m³

Soit 60 % du volume immergé (2 chiffres sig.)

Navires : poids eau déplacée = poids du bateau
Montgolfière : air chaud moins dense → π > P_nacelle
Plongée : gilet gonflable ajuste V et donc π
Nautile : régule gaz dans ses loges

🌊 Débit volumique Q_v

Volume de fluide traversant une section par unité de temps.

Q_v = V / Δt = v · S m³·s⁻¹ = m·s⁻¹ × m²

Symbole	Grandeur	Unité
Q_v	Débit volumique	m³·s⁻¹
V	Volume de fluide écoulé	m³
Δt	Durée de l'écoulement	s
v	Vitesse du fluide	m·s⁻¹
S	Section du conduit	m²

🌊 La Loire

V = 8,0×10⁸ m³/jour → Δt = 24×3 600 = 8,64×10⁴ s

Q_v = 8,0×10⁸ / 8,64×10⁴ ≈ 9,3×10³ m³·s⁻¹

🔄 Conservation du débit — Équation de continuité

Pour un fluide incompressible en régime permanent : pas de perte de matière → le débit est le même en tout point.

v_A · S_A = v_B · S_B v_B / v_A = S_A / S_B Si S_A > S_B ⟹ v_B > v_A

⚠ La vitesse augmente quand la section rétrécit

S_A (large) S_B (étroite) ____________ ___ →→ v_A \ / →→→→ v_B )( ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ ‾‾‾ S_A > S_B ⟹ v_B > v_A lignes courant rapprochées

🩸 Athérosclérose

S_A=4,0 cm², S_B=1,0 cm², v_A=0,20 m·s⁻¹

v_B = v_A×S_A/S_B = 0,20×4,0/1,0 = 0,80 m·s⁻¹

→ vitesse ×4 dans l'artère rétrécie

⚠️ Hypothèses — Bernoulli

H1 — Fluide incompressible (ρ = cte)
H2 — Régime permanent (stationnaire)
H3 — Fluide non visqueux (sans frottement)
H4 — Le long d'une même ligne de courant

Si une hypothèse n'est pas vérifiée → Bernoulli ne s'applique pas !

Interprétation : Bernoulli traduit la conservation de l'énergie totale d'une particule fluide le long de sa trajectoire.

⚡ Relation de Bernoulli

Forme générale

P + ½ρv² + ρgz = constante

Pour deux points A et B

P_A + ½ρv_A² + ρgz_A = P_B + ½ρv_B² + ρgz_B

Terme	Signification	Unité
P	Pression statique	Pa
½ρv²	Pression dynamique	Pa
ρgz	Pression hydrostatique	Pa

Cas particulier — Conduit horizontal (z_A=z_B)

P + ½ρv² = constante P_A−P_B = ½ρ(v_B²−v_A²)

Cas particulier — Fluide au repos (v=0)

P_B−P_A = ρg(z_A−z_B) → on retrouve la statique des fluides ΔP = ρgΔz

Point A (haut) z_A=h, P_A=P_atm, v_A≈0 │ Château d'eau │ Point B (sortie) z_B=0, P_B=P_atm ρgh = ½ρv_B² ⟹ v_B = √(2gh) h=10 m → v_B = √(2×10×10) = √200 ≈ 14 m·s⁻¹ (2 chiffres sig.)

💨 Effet Venturi

Dans un écoulement permanent, quand la vitesse augmente, la pression diminue (et inversement).

v↑ ⟹ P↓ v↓ ⟹ P↑

P_A haute P_B basse ___________ __ ___________ →→ v_A \ / →→→→→ v_B →→ v_A ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ ‾‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ v_A<v_B ⟹ P_A>P_B (dépression en B)

Applications

Atomiseur / parfum : air rapide → dépression → aspiration du liquide
Carburateur : air accéléré aspire l'essence
Venturimètre : mesure de débit par ΔP
Effet Magnus : ballon en rotation → vitesse asymétrique → force latérale
Aile d'avion : air plus rapide dessus → portance

🧮 Venturi — Exemple

S_A=4,0 cm², S_B=1,0 cm², v_A=2,0 m·s⁻¹, P_A=1,5×10⁵ Pa

v_B = 2,0×4,0/1,0 = 8,0 m·s⁻¹

P_B = 1,5×10⁵ + ½×1 000×(4,0−64) = 1,5×10⁵ − 3,0×10⁴ = 1,2×10⁵ Pa

🎯 Méthode — Bernoulli en 5 étapes

1

Choisir A et BSur la même ligne de courant, aux endroits avec données connues/inconnues

2

Vérifier les hypothèsesIncompressible ? Permanent ? Non visqueux ?

3

Débit si nécessairev_B = v_A × S_A/S_B

4

Écrire BernoulliP_A+½ρv_A²+ρgz_A = P_B+½ρv_B²+ρgz_B

5

SimplifierHorizontal → suppr. ρgz · Repos → suppr. ½ρv²

📋 BILAN GLOBAL — Formulaire de révision

Poussée d'Archimède

π = ρ_f · V · g

Fluide de masse volumique ρ_f
V = volume immergé
Verticale, vers le haut
Eau : ρ = 1 000 kg·m⁻³

Conservation du débit

v_A·S_A = v_B·S_B

Fluide incompressible
Régime permanent
Section ↓ → vitesse ↑
Unité : m³·s⁻¹

Relation de Bernoulli

P+½ρv²+ρgz = cte

Incompressible, permanent
Non visqueux
Même ligne de courant
Conservation énergie

Effet Venturi

P + ½ρv² = cte

Conduit horizontal
v↑ ⟹ P↓
Atomiseur, carburateur
Aile avion, effet Magnus

Formule	Conditions	Cas particulier
`π = ρ_f · V · g`	Corps dans fluide au repos	Flottaison : π = P
`Q_v = v · S`	Régime permanent	Débit en m³·s⁻¹
`v_A·S_A = v_B·S_B`	Incompressible + permanent	v_B/v_A = S_A/S_B
`P+½ρv²+ρgz = cte`	Incompressible, permanent, non visqueux, même ligne de courant	Toutes grandeurs en Pa
`P + ½ρv² = cte`	Bernoulli + conduit horizontal	Effet Venturi : v↑ ⟹ P↓
`ΔP = ρgΔz`	Fluide au repos (v = 0)	Statique des fluides (1ère)
`v_B = √(2gh)`	Torricelli : v_A≈0, P_A=P_B=P_atm	h=10m → v≈14 m·s⁻¹